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最短路入门

2021/3/21 0:31:26   来源:

最短路入门

Floyd
我们定义一个数组dis[k][x][y],表示只允许经过结点V1到Vk,结点x到结点y的最短路长度。很显然,dis[k][x][y]就是最终结点x到结点y的最短路长度。
dis[k][x][y] = min(dis[k-1][x][y],dis[k-1][x][k]+dis[k-1][k][y])
(dis[k-1][x][y]为不经过k点时的最短路径,而dis[k-1][x][k]+dis[k-1][k][y]为经过k点时的最短路径)

floyd的简化模板

void floyd()
{
	for(int k=1;k<=n;k++)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=1;j<=n;j++)
			{
				dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[k][j]+dis[i][k]);
				//经过k和不经过k的两种情况
			}
		}
	}
}

例题A:模板题

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=101;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,a,b,c;
int dis[maxn][maxn];

void floyd()		//dis[x][y]即x到y的最短路
{
	for(int k=1;k<=n;k++)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=1;j<=n;j++)
			{
				dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
			}
		}
	}
}
int main()
{
	while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&n||m)
	{
		memset(dis,inf,sizeof dis);
		for(int i=1;i<=n;i++) dis[i][i]=0;
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			cin>>a>>b>>c;
			dis[a][b]=dis[b][a]=min(dis[a][b],c)//解决掉可能会重边的问题 
		}
		floyd();
		cout<<dis[1][n]<<endl;		//路口1到路口n的最短路
	}
}

Dijkstra算法(迪杰斯特拉算法)求单源最短路
迪杰斯特拉算法的理解引用了一篇博客:https://blog.csdn.net
好处:使时间复杂度变小

void dijkstra(int s){				//迪杰斯特拉算法,求单源最短路 
	memset(d,inf,sizeof d);			//d[n]表示源点到n点的最短路径 
	memset(vis,0,sizeof vis);
	d[s]=0;							//s为源点,初始化为零 
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x=0;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(!vis[j]&&(x==0||d[j]<d[x]))		//!vis[j]表示j点是还未求出最短路径的顶点 
				x=j;	//x存储最短路径的顶点 
		}
		vis[x]=1;		//表示x是已经求出最短路径的顶点 
		for(int y=1;y<=n;y++){
			d[y]=min(d[y],d[x]+mp[x][y]);		//mp[x][y]代表x点和y点之间的路径长度
		} 		//更新d[]值,例如d[1]求出最短路径后,就开始求从1开始的最短路径 
	}
}

例题B:迪杰斯特拉算法经典例题

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=1001;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int T,n,x,y,z;
int dis[maxn];					//dis[i]代表i点到第一个点的最短路径 
int mp[maxn][maxn];
int vis[maxn];
void dijkstra(int n)			//迪杰斯特拉算法 
{
	memset(vis,0,sizeof vis);
	int minm,k;
	vis[1]=1;					//初始化第一个点的最短路径已求出 
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		minm=inf;
		k=1;
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			if(!vis[j]&&minm>dis[j])
			{
				minm=dis[j];
				k=j;	
			}	
		}
		vis[k]=1;			//标记k点已经算出最短路径
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			if(!vis[j]&&dis[j]>dis[k]+mp[k][j])
				dis[j]=dis[k]+mp[k][j];			//更新dis[]值,往后递推,关键步骤 
		} 
	}
	printf("%d\n",dis[n]);
}
int main()
{
	memset(dis,inf,sizeof dis);

	while(scanf("%d%d",&T,&n)!=EOF)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			mp[i][i]=0;
			for(int j=1;j<i;j++)
				mp[i][j]=mp[j][i]=inf;
		}
		for(int i=1;i<=T;i++)
		{
			cin>>x>>y>>z;
			mp[x][y]=mp[y][x]=min(mp[x][y],z);	//应对重边的可能性 
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)
			dis[i]=mp[1][i];
		dijkstra(n);
		
	}
}