signed

QiShunwang

“诚信为本、客户至上”

算法探究1--最大子列和问题

2021/6/24 19:11:36   来源:

最大子列和问题

问题描述

该题目转自PTA
给定K个整数组成的序列 { N 1 , N 2 , . . . , N K } \{N_1,N_2,...,N_K\} {N1,N2,...,NK},“连续子列”被定义为 { N i , N i + 1 , . . . , N j } \{N_i,N_{i+1},...,N_j\} {Ni,Ni+1,...,Nj},其中 1 ≤ i ≤ j ≤ K 1≤i≤j≤K 1ijK 。“最大子列和”则被定义为所有连续子列元素的和中最大者。例如给定序列 { − 2 , 11 , − 4 , 13 , − 5 , − 2 } \{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 \} {2,11,4,13,5,2},其连续子列 { 11 , − 4 , 13 } \{ 11, -4, 13\} {11,4,13}有最大的和20。现要求你编写程序,计算给定整数序列的最大子列和。

本题旨在测试各种不同的算法在各种数据情况下的表现。各组测试数据特点如下:

数据1:与样例等价,测试基本正确性;
数据2:1e3个随机整数;
数据3:1e4个随机整数;
数据4:1e5个随机整数;
数据5:1e6个随机整数;

算法

算法一

暴力求解,求出每一个子列的和,寻找最大的那个,时间复杂度为 O ( N 3 ) O(N^3) O(N3)

int MaxSubseqSum1(int A[],int N)
{
    int ThisSum = 0,MaxSum = 0;
    int i,j,k;
    for(i = 0;i < N;++i)
    {
        for(j = i;j < N;++j)
        {
            ThisSum = 0;
            for(k = i;k <= j;++k)
            	ThisSum += A[k];
            if(ThisSum > MaxSum)
                MaxSum = ThisSum;
        }
    }
    return MaxSum;
}
算法二

对算法一进行改进,最内层的 k k k循环是没有必要的,可以在遍历 j j j的时候,每遍历一次就进行一次判断,下一次判断时,也不需要从头开始累加,只需加上 j j j的下一项即可,时间复杂度为 O ( N 2 ) O(N^2) O(N2)

#include<iostream>
using namespace std;
int MaxSubseqSum2(int A[],int N)
{
    int ThisSum = 0,MaxSum = 0;
    int i,j;
    for(i = 0;i < N;++i)
    {
        ThisSum = 0;
        for(j = i;j < N;++j)
        {
            ThisSum += A[j];
            if(ThisSum > MaxSum)
                MaxSum = ThisSum;
        }
    }
    return MaxSum;
}
int A[100000];
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    //int* A = new int(n);  使用动态内存分配时,10万个随机数的测试用例提示段错误,经查可能是由于数组过大导致,所以改用静态全局数组
    for(int i = 0;i < n;++i)
        cin >> A[i];
    cout << MaxSubseqSum2(A,n);
}

在这里插入图片描述

算法三

采用分而治之的思想,将整个数列分为两部分,分别求这两部分的最大子列和,最后再求解跨越边界的中间部分的最大子列和,求出的最大值即为最终结果,在分开的两个子列中再递归调用该算法,时间复杂度为 O ( N l o g N ) O(NlogN) O(NlogN),空间复杂度为 O ( N ) O(N) O(N)

int Max3( int A, int B, int C )
{ /* 返回3个整数中的最大值 */
    return A > B ? A > C ? A : C : B > C ? B : C;
}

int DivideAndConquer( int List[], int left, int right )
{ /* 分治法求List[left]到List[right]的最大子列和 */
    int MaxLeftSum, MaxRightSum; /* 存放左右子问题的解 */
    int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum; /*存放跨分界线的结果*/

    int LeftBorderSum, RightBorderSum;
    int center, i;

    if( left == right )  { /* 递归的终止条件,子列只有1个数字 */
        if( List[left] > 0 )  return List[left];
        else return 0;
    }

    /* 下面是"分"的过程 */
    center = ( left + right ) / 2; /* 找到中分点 */
    /* 递归求得两边子列的最大和 */
    MaxLeftSum = DivideAndConquer( List, left, center );
    MaxRightSum = DivideAndConquer( List, center+1, right );

    /* 下面求跨分界线的最大子列和 */
    MaxLeftBorderSum = 0; LeftBorderSum = 0;
    for( i=center; i>=left; i-- ) { /* 从中线向左扫描 */
        LeftBorderSum += List[i];
        if( LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum )
            MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
    } /* 左边扫描结束 */

    MaxRightBorderSum = 0; RightBorderSum = 0;
    for( i=center+1; i<=right; i++ ) { /* 从中线向右扫描 */
        RightBorderSum += List[i];
        if( RightBorderSum > MaxRightBorderSum )
            MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
    } /* 右边扫描结束 */

    /* 下面返回"治"的结果 */
    return Max3( MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum );
}

int MaxSubseqSum3( int List[], int N )
{ /* 保持与前2种算法相同的函数接口 */
    return DivideAndConquer( List, 0, N-1 );
}

在这里插入图片描述

算法四

这是最高效的算法,又被称为在线处理算法。遍历一次,如果累积的值为正数,则继续累加,若为负数,则直接置0,丢弃前面处理的结果,若累积的值超过了当前的最大值,则进行替换,时间复杂度为 O ( N ) O(N) O(N)

int MaxSubseqSum4(int A[],int N)
{
    int ThisSum = 0,MaxSum = 0;
    for(int i = 0;i < N;++i)
    {
        ThisSum += A[i];
        if(ThisSum > MaxSum)
            MaxSum = ThisSum;
        else if(ThisSum < 0)
            ThisSum = 0;
    }
    return MaxSum;
}

在这里插入图片描述

进阶

这道题是求解子列和的进阶版,该题不仅要求求解最大和,并且需要返回最大和对应的起始于终止位置处的值。对于结束的值,则可以在修改最大值时一起更新,所以此题的难点在于如何更新起点值。根据在线处理算法的规则,如果我们要更新起点值,则更新时机是现有元素子列和为负数,更新起始值为当前的下一个位置。但是基于这种逻辑筛选出的起始值是不正确的,所以起始值也应该和最大值一起更新,采用一个新的变量储存“假的”起始值,只有在更新最大值时,这个“假的”起始值才被视为真实的起始值。

#include <iostream>
using namespace std;
int* MaxSubseqSum(int A[],int n)
{
    int* res = new int(3);
    int ThisSum = 0;
    int tmpPosition = 0;
    bool IsNegtive = true;	//判断数据是否都为负数,这种情况有独特的处理方式
    res[0] = 0;     //存储最大子列和
    res[1] = 0;     //存储首元素
    res[2] = 0;     //存储尾元素
    for(int i = 0;i < n;++i)
    {
        if(A[i] >= 0)
            IsNegtive = false;
        ThisSum += A[i];
        if(ThisSum > res[0])
        {
            res[0] = ThisSum;
            res[1] = A[tmpPosition];
            res[2] = A[i];
        }
        else if(ThisSum < 0)
        {
            ThisSum = 0;
            if(i < n - 1)
                tmpPosition = i + 1;
        }
    }
    if(IsNegtive)
    {
        res[1] = A[0];
        res[2] = A[n-1];
    }
    return res;
}

void readInput(int* A,int& n)
{
    cin >> n;
    for(int i = 0;i < n;++i)
        cin >> A[i];
}
int A[10000];	//动态分配内存会产生段错误,故选用静态数组
int main()
{
    int* res = NULL;
    int n = 0;
    readInput(A,n);
    res = MaxSubseqSum(A,n);
    cout << res[0] << " " << res[1] << " " << res[2] << endl;
    return 0;
}

在这里插入图片描述