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多元函数极限的存在性问题

2021/5/14 23:16:49   来源:

高等数学课本对多元函数极限的描述,用\varepsilon \mapsto \sigma描述如下:

设二元函数

f(P)=f(x,y)

的定义域为D,P_0(x_0,y_0)是D的聚点,如果存在常数A,对于任意给定的正数\varepsilon,总存在正数\sigma,使得当点P(x,y)\in D\cap U(p_0,\sigma )时,都有

\left | f(P)-A \right |=\left | f(x,y)-A \right | <\varepsilon

成立,那么就称常熟A为函数f(x,y)当(x,y)->(x_0, y_0)的极限,记作

\lim_{(x,y)->(x_0, y_0)}f(x,y)=A

定义就是这个样子的,这里需要注意的是,所谓的二重极限存在,是指P(x,y)以任何方式趋近于P_0(x_0,y_0)时,f(x,y)都无限接近于A,因此,如果P(x,y)以某一特殊方式,例如沿着一条定直线或定曲线趋于P_0(x_0,y_0)时,即使f(x,y)无限接近某一确定值,我们还不能由此断定函数的极限存在,但是反过来,如果当P(x,y)以不同方式趋于P_0(x_0,y_0)时,f(x,y)趋于不同的值,那么就可以断定这个函数的极限不存在,下面用例子来说明这种情况:

函数

f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \frac{xy}{x^2+y^2}, &x^2+y^2\neq 0 \\ 0, & x^2+y^2=0 \end{matrix}\right.

显然,当点P(x,y)沿x轴趋近于点(0,0)时,

\lim_{(x,y)->(0, 0)}f(x,y)=\lim_{x->0}f(x,0)=\lim_{x->0}0=0

当点P(x,y)沿y轴趋近于点(0,0)时,

\lim_{(x,y)->(0, 0)}f(x,y)=\lim_{y->0}f(0,y)=\lim_{y->0}0=0

虽然点P(x,y)以上述两种特殊方式(沿x轴或者y轴)趋于原点时函数的极限存在并且相等,但是,\lim_{(x,y)->(0, 0)}并不存在,这是因为当点P(x,y)沿着直线y=kx趋近于点(0,0)时,有

\lim_{(x,y)->(0, 0),y=kx}\frac{xy}{x^2+y^2}=\lim_{x->0}\frac{kx^2}{x^2+k^2x^2}=\frac{k}{1+k^2}

显然,它是随着k的值不同而改变的.

我喜欢用图说明问题,我们用geogebra绘制出这个函数的图像,图中黑色直线和z轴的交点红色点B,就是当沿着y=kx直线趋近于原点时候函数的极限值,可以看到这个极限值在(-0.5,0.5)之前变化,也就是说极限不是固定值,原函数没有极限.

 


结束!